Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，若直線是函數(shù)的圖象的切線，求的最小值；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求的取值范圍，并判斷極值的正負(fù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上存在極值，且極值都為正數(shù)．

【解析】

(1) 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,求得切線的方程,由直線是函數(shù)的圖象的切線,得到,,求得,利用導(dǎo)數(shù)即可求得的最小值.

(2)求出的導(dǎo)數(shù),令,若在上存在極值,則或，分類討論,分別構(gòu)造新函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系,即可求得的取值范圍.

（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，

，

切線斜率，又，

，

令，

，

解得，解得，在上遞減，在上遞增.

，的最小值為.

（2），.

.

設(shè)，則.

由，得.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

且，，.

顯然.

結(jié)合函數(shù)圖象可知，若在上存在極值，

則或

（�。┊�(dāng)，即時(shí)，

則必定，，使得，且.

當(dāng)變化時(shí)，，，的變化情況如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴當(dāng)時(shí)，在上的極值為，，且.

.

設(shè)，其中，.

，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

，.

∴當(dāng)時(shí)，在上的極值.

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，

則必定，使得.

易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

此時(shí)，在上的極大值是，且.

∴當(dāng)時(shí)，在上的極值為正數(shù).

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上存在極值，且極值都為正數(shù)．

注：也可由，得．令后再研究在上的極值問(wèn)題．若只求的范圍.