【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，為側(cè)棱上的點.

（1）求證：；

（2）若平面，求二面角的大小；

（3）在（2）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點，使得平面.若存在，求的值；若不存在，試說明理由.

【答案】(1)見證明；(2) (3)見解析

【解析】

（1）先證明平面，即可得到；

（2）由題設知，連，設交于于，由題意知平面.以為坐標原點，，，分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，求法向量的夾角余弦值，即可求出結(jié)果；

（3）要使平面，只需與平面的法向量垂直即可，結(jié)合(2)中求出的平面的一個法向量，即可求解.

（1）連交于，由題意.

在正方形中，，

所以平面，得

（2）由題設知，連，設交于于，由題意知平面.以為坐標原點，，，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標系如圖.

設底面邊長為，則高.

則，，

又平面，

則平面的一個法向量，

平面的一個法向量，

則，

又二面角為銳角，則二面角為；

（3）在棱上存在一點使平面.由（2）知是平面的一個法向量，

且，

設，

則

又平面，所以，

則.

即當時，

而不在平面內(nèi)，故平面.

練習冊系列答案
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【題目】目前有聲書正受著越來越多人的喜愛．某有聲書公司為了解用戶使用情況，隨機選取了名用戶，統(tǒng)計出年齡分布和用戶付費金額（金額為整數(shù)）情況如下圖．

有聲書公司將付費高于元的用戶定義為“愛付費用戶”，將年齡在歲及以下的用戶定義為“年輕用戶”．已知抽取的樣本中有的“年輕用戶”是“愛付費用戶”．

（1）完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否有的把握認為用戶“愛付費”與其為“年輕用戶”有關？

愛付費用戶

不愛付費用戶

合計

年輕用戶

非年輕用戶

合計

（2）若公司采用分層抽樣方法從“愛付費用戶”中隨機選取人，再從這人中隨機抽取人進行訪談，求抽取的人恰好都是“年輕用戶”的概率．

．

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經(jīng)計算： ， ， ， ， ， ， ，其中分別為試驗數(shù)據(jù)中的溫度和死亡株數(shù)， .

（1）若用線性回歸模型，求關于的回歸方程（結(jié)果精確到）；

（2）若用非線性回歸模型求得關于的回歸方程為，且相關指數(shù)為.

（i）試與（1）中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好；

（ii）用擬合效果好的模型預測溫度為時該批紫甘薯死亡株數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

附：對于一組數(shù)據(jù)， ，……， ，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： ；相關指數(shù)為： .

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（1）若恒成立，求實數(shù)的最大值；

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已知函數(shù)f(x)＝ 的定義域為R.

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