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已知函數
（1）當時，求函數在上的極值；
（2）證明：當時，；
（3）證明： .

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、極值和最值、不等式等基礎知識，考查函數思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，將代入，得到解析式，對它求導，列出表格，通過單調性，判斷極值；第二問，證明不等式轉化為求函數的最小值大于0；第三問，利用第二問的結論，令，利用放縮法得到，再利用對數的性質和裂項相消法求和，得到所證不等式.
試題解析：（1）當時，
          1分
變化如下表








+
0
 
0
+

↗
極大值
↘
極小值
↗
，       4分
（2）令 
則                 6分
∴在上為增函數。       8分
                                     9分
（3）由（2）知                       10分
令得，     12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數．
（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數的單調性．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數。
（Ⅰ）若,求函數的單調區(qū)間并比較與的大小關系
（Ⅱ）若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為，對于任意的，函數在區(qū)間上總不是單調函數，求的取值范圍；
（Ⅲ）求證：。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設函數，其中.
（1)若在處取得極值，求常數的值；
（2）設集合，，若元素中有唯一的整數，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數在區(qū)間上是減函數，求實數的最小值；
（Ⅲ）若存在（是自然對數的底數）使，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數，
（1）求函數的極值點；
（2）若直線過點，并且與曲線相切，求直線的方程；
（3）設函數，其中，求函數在上的最小值（其中為自然對數的底數）.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數（）
（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；
（2）當時，若直線與曲線在上有公共點，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數
（1）當時，試討論函數的單調性；
（2）證明：對任意的 ，有.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分共12分）已知函數，曲線在點處切線方程為。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）討論的單調性，并求的極大值。

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