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判斷函數f（x）=
1x2-1
在區(qū)間（1，+∞）上的單調性，并用單調性定義證明．
分析：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，則f（x1）-f（x2）變形后易判＞0，由單調性的定義可得．
解答：解：函數f（x）=
1
x2-1
在區(qū)間（1，+∞）上的單調遞減，證明如下：
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，則f（x1）-f（x2）
=
1
x12-1
-
1
x22-1
=
x22-x12
(x12-1)(x22-1)
=
(x2-x1)(x2+x1)
(x12-1)(x22-1)
，
∵x1＜x2，∴x2-x1＞0，
又∵x1，x2∈（1，+∞），
∴x2+x1＞0，x12-1＞0，x22-1＞0，
∴
(x2-x1)(x2+x1)
(x12-1)(x22-1)
＞0，即f（x1）＞f（x2）
由單調性的定義可知函數在區(qū)間（1，+∞）上的單調遞減．
點評：本題考查函數的單調性的判斷與證明，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知y=f（x）（x∈D，D為此函數的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②如果存在區(qū)間[a，b]⊆D，使函數f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數．請解答以下問題：
（1）判斷函數f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否為閉函數？并說明理由；
（2）求證：函數y=-x3（x∈[-1，1]）為閉函數；
（3）若y=k+
x
(k＜0)是閉函數，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義在D上的函數f（x），如果存在常數M和N，使得對于任意x∈D，都有M≤f（x）≤N成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的一個下界，N稱為函數f（x）的一個上界．
（1）判斷函數f（x）=log2x-x2在（0，+∞）上是否為有界函數，不必說明理由；
（2）判斷函數f（x）=1+（
1
2
）x+（
1
4
）x在[0，+∞）上是否為有界函數，請說明理由
（3）若函數f（x）=1+a（
1
2
）x+（
1
4
）x在[0，+∞）上是有界函數，且3是f（x）的一個上界，-3是f（x）的一個下界，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若定義在R上的函數f（x）滿足：①對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1；②當x＜0時，f（x）＞-1．
（1）試判斷函數f（x）+1的奇偶性；
（2）試判斷函數f（x）的單調性；
（3）若不等式f(a2+a-5)+
32
＞0的解集為{a|-3＜a＜2}，求f（4）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

對于定義域為G的函數f（x），如果同時滿足下列兩個條件：①f（x）在G內是單調函數；②存在區(qū)間[a，b]⊆G，使f（x）在[a，b]上的值域亦為[a，b]，那么就稱f（x）為好函數．
（Ⅰ）判斷函數f（x）=數學公式+1在（0，+∞）上是否為好函數？并說明理由；
（Ⅱ）求好函數f（x）=-x3+1符合條件的一個區(qū)間[a，b]；
（Ⅲ）若函數f（x）=m+數學公式是好函數，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知y=f（x）（x∈D，D為此函數的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②如果存在區(qū)間[a，b]⊆D，使函數f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數．請解答以下問題：
（1）判斷函數f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否為閉函數？并說明理由；
（2）求證：函數y=-x3（x∈[-1，1]）為閉函數；
（3）若y=k+
x
(k＜0)是閉函數，求實數k的取值范圍．

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