Question

【題目】如圖，過圓O外一點P作圓的切線PC，切點為C，割線PAB、割線PEF分別交圓O于A與B、E與F．已知PB的垂直平分線DE與圓O相切．

（1）求證：DE∥BF；
（2）若 ，DE=1，求PB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BE，

∵DE與圓O相切，

∴由弦切角定理可得，∠BED=∠BFE

又∵DE垂直平分BP，∴∠BED=∠DEP

∴∠BFE=∠DEP，

∴DE∥BF

（2）解：由切割線定理，得 PC2=PE×PF=12，

∵D為線段BP的中點，DE∥BF；

∴PF=2PE，

∴PF=2 ，

∵DE=1，DE∥BF，PB的垂直平分線DE與圓O相切．

∴DE為Rt△PBF的中位線，

∴DE=2，

在Rt△PBF中，由勾股定理，可得，PB=2 ．

【解析】（1）由題意可得，∠BED=∠BFE，∠BED=∠DEP，即可證得；（2）由切割線定理，勾股定理，即可計算解得答案．