如圖，為半圓，為半圓直徑，為半圓圓心，且，為線段的中點，已知，曲線過點，動點在曲線上運動且保持的值不變.
(I)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担笄�的方程；
(II)過點的直線與曲線交于兩點，與所在直線交于點，，證明：為定值.

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）根據(jù)題意建立適當?shù)淖鴺讼�，�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cb/7/fguy5.png" style="vertical-align:middle;" />為坐標原點，因為的值不變，所以會想到橢圓的定義，根據(jù)橢圓的定義，需要知道的值，易知，故橢圓的基本量就能很快求出，從而求出最終橢圓的標準方程.（2）圓錐曲線與向量的綜合，最好使用點的坐標表示，可以根據(jù)題意設出的坐標，利用，的關系，反求出（含）的坐標代入到橢圓方程中，得到，，可見是方程的兩個根，故.還可以利用聯(lián)立方程組的方法，但稍微復雜一點，具體過程見解答.
試題解析：（1）以為原點，所在直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系.
因為動點在曲線上運動且保持的值不變，而點也在曲線上，
所以，滿足橢圓的定義，
故曲線是以原點為中心，為焦點的橢圓.
則，，
所以曲線的標準方程為
（2）

解法一：設而不求法
設的坐標分別為，則
，
帶入到得
化簡，得
同理由，得
是方程的兩個根

解法二：聯(lián)立方程組法
設點的坐標分別為，
易知點的坐標為．且點B在橢圓C內(nèi),故過點B的直線l必與橢圓C相交．
顯然直線  的斜率存在，設直線 的斜率為 ，則直線  的方程是
將直線  的方程代入到橢圓  的方程中，消去  并整理得
．
∴，
又 ∵， 則．∴，
同理，由，∴
∴ .
考點：1.圓錐曲線的定義，標準方程的求解；2.向量與圓錐曲線的綜合性問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動圓C經(jīng)過點，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點的直線m交曲線E于A，B兩點，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線交于點C，當△ABC的面積為時，求直線m的方程.

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已知是橢圓的右焦點，圓與軸交于兩點，是橢圓與圓的一個交點，且.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過點與圓相切的直線與的另一交點為，且的面積等于，求橢圓的方程.

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在直角坐標平面內(nèi)，y軸右側的一動點P到點的距離比它到軸的距離大
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設為曲線上的一個動點，點，在軸上，若為圓的外切三角形，求面積的最小值.

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如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”.

(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“C1—C2型點”;
(3)求證:圓內(nèi)的點都不是“C1—C2型點”.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，過軸上一點的直線與拋物線交于點兩點。
證明，存在唯一一點，使得為常數(shù)，并確定點的坐標。

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如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，離心率為．分別過，的兩條弦，相交于點（異于，兩點），且．

（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中,已知,直線, 動點到的距離是它到定直線距離的倍. 設動點的軌跡曲線為. 
（1）求曲線的軌跡方程.
（2）設點, 若直線為曲線的任意一條切線,且點、到的距離分別為,試判斷是否為常數(shù),請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的右焦點在圓上，直線交橢圓于、兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若(為坐標原點)，求的值；

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