已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過點(diǎn),且在x軸上截得弦長為2,記該圓圓心的軌跡為E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線m交曲線E于A,B兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)分別作曲線E的切線,兩切線交于點(diǎn)C,當(dāng)△ABC的面積為時(shí),求直線m的方程.

(Ⅰ)x2=2y;(Ⅱ)直線m的方程為y=±x+

解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)定義法確定軌跡為拋物線,然后借助圓C被x軸截得弦長的最小值為1求解參數(shù)m的值;(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解拋物線的切線方程,然后將三角形面積進(jìn)行表示,其底邊用弦長公式進(jìn)行表示,高用點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行表示,得到含有直線m的斜率k的等式.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x,y),則其半徑r=
依題意,r2-y2=1,即x2+(y-1)2-y2=1,
整理得曲線E的方程為x2=2y.                                   …4分
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2
設(shè)直線m方程為y=kx+,代入曲線E方程,得
x2-2kx-1=0,則x1+x2=2k.                                   …6分
對y=x2求導(dǎo),得y¢=x.
于是過點(diǎn)A的切線為y=x1(x-x1)+,即y=x1x-.         ①
由①同理得過點(diǎn)B的切線為y=x2x-.                       ②
設(shè)C(x0,y0),由①、②及直線m方程得
x0=k,y0=x1x0=-.                               8分
M為拋物線的焦點(diǎn),y=-為拋物線的準(zhǔn)線,由拋物線的定義,得
|AB|=y(tǒng)1+y2=k(x1+x2)+2=2(k2+1).
點(diǎn)C到直線m的距離d=.                   10分
所以△ABC的面積S=|AB|·d=(k2+1)
由已知(k2+1)=2,有且僅有k=±1.
故直線m的方程為y=±x+.                                   12分
考點(diǎn):1.軌跡方程;2.拋物線的切線;3.三角形面積公式.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為.點(diǎn)在軌跡上,且關(guān)于軸對稱,過線段(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線,使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn).
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且的面積為20,求直線的方程.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,,直線與線段、分別交于點(diǎn)、.

(1)當(dāng)時(shí),求以為焦點(diǎn),且過中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作直線于點(diǎn),記的外接圓為圓.
①求證:圓心在定直線上;
②圓是否恒過異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)?若過,求出該點(diǎn)的坐標(biāo);若不過,請說明理由.

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已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切,直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;(2)求的取值范圍;

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設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,離心率.過該橢圓上任一點(diǎn)軸,垂足為,點(diǎn)的延長線上,且
(1)求橢圓的方程;
(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(3)設(shè)直線點(diǎn)不同于)與直線交于點(diǎn)為線段的中點(diǎn),試判斷直線與曲線的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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已知橢圓C:的離心率為,
直線:y=x+2與原點(diǎn)為圓心,以橢圓C的短軸長為直
徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).設(shè)直線的斜率,在軸上是否存在點(diǎn),使得是以GH為底邊的等腰三角形. 如果存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍,如果不存在,請說明理由.

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已知分別是橢圓: 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在直線上,線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn).直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且橢圓上存在點(diǎn),使,其中是坐標(biāo)原點(diǎn),是實(shí)數(shù).
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)取何值時(shí),的面積最大?最大面積等于多少?

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已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如果過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),
①求的值;
②當(dāng)為等腰直角三角形時(shí),求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,為半圓,為半圓直徑,為半圓圓心,且,為線段的中點(diǎn),已知,曲線點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)且保持的值不變.
(I)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求曲線的方程;
(II)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),與所在直線交于點(diǎn),證明:為定值.

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