Question

下列函數(shù)中，在其定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（　　）

• A、y=

  1

  x

• B、y=2^-x*
• C、y=lg

  1-x

  1+x

• D、y=-|x|

Answer 1

分析：選項中的四個函數(shù)分別是指數(shù)型的，反比例函數(shù)，對數(shù)型函數(shù)，以及一次絕對值函數(shù)，根據(jù)相關函數(shù)的性質對每個函數(shù)的進行驗證即可找出正確選項．

解答：解：對于選項A，y=

1

x

是一個反比例函數(shù)，其在定義域內是奇函數(shù)，但在整個定義域內不是單調函數(shù)，故A不對；
對于選項B，y=2^-x*無法判斷其奇偶性，故B不正確；
對于選項C，y=lg

1-x

1+x

的定義域為-1＜x＜1，且為奇函數(shù)，令u=

1-x

1+x

，則u′=-

2

(1+x)2

＜0，所以y=lg

1-x

1+x

在定義域上為減函數(shù)．故C正確；
對于選項D，函數(shù)y=-|x|的圖象為一折線，在整個定義域上不是單調函數(shù)，且是偶函數(shù)，故D不正確．
由上分析知，選項C是正確的．
故選C．

點評：本題考點是函數(shù)單調性的判斷與證明，考查基本函數(shù)單調性的判斷與其奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性與單調性是函數(shù)的兩個非常重要的性質，奇函數(shù)的圖象關于原點成中心對稱圖象，偶函數(shù)的圖象關于y軸成中心對稱圖形，具有奇偶性的函數(shù)在對稱的區(qū)間上奇函數(shù)的單調性相同，而偶函數(shù)在對稱區(qū)間上相反，熟練掌握這些知識，可以迅速準確地做出正確判斷．