Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的方程為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)和，記和相交于點(diǎn).

（1）證明：直線(xiàn)和的斜率之積為定值；

（2）求證：點(diǎn)在一條定直線(xiàn)上.

Answer 1

【答案】（1）直線(xiàn)和的斜率之積為定值.（2）點(diǎn)在定直線(xiàn)上.

【解析】試題分析：（1）依題意，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)聯(lián)立得，設(shè)的坐標(biāo)分別為，根據(jù)求導(dǎo)得切線(xiàn)斜率，結(jié)合韋達(dá)定理即可證得；

（2）由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)和的方程，聯(lián)立這兩個(gè)方程，消去得整理得，注意到，所以，此時(shí)，從而得證.

試題解析：

解：（1）依題意，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

將其代入，消去整理得.

設(shè)的坐標(biāo)分別為，

則.

將拋物線(xiàn)的方程改寫(xiě)為，求導(dǎo)得.

所以過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率是，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率是，

故，

所以直線(xiàn)和的斜率之積為定值.

（2）設(shè).因?yàn)橹本�(xiàn)的方程為，即，

同理，直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立這兩個(gè)方程，消去得，

整理得，注意到，所以.

此時(shí).

由（1）知， ，所以 ，

所以點(diǎn)在定直線(xiàn)上.