Question

已知點(diǎn)（1，2）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）-1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log_aa_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）若cn=(bn+1)•(

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)n，數(shù)列c_n有沒有最大值？如果有，求出最大值；如果沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意由于已知點(diǎn)（1，2）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，所以可以先代入求出a的值，再有數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）-1，先求出函數(shù)S_n的解析式，再有數(shù)列的前n項(xiàng)和利用公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）由于數(shù)列{b_n}滿足b_n=log_aa_n+1（n∈N^*），由（1）可以知道b_n=n，所以a_nb_n=n•2^n-1，由該通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可以選擇錯(cuò)位相減法求出其前n項(xiàng)的和；
（III）由（II）及cn=(bn+1)•(

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)n，可以利用假設(shè)數(shù)列c_n有最大值，利用最大值的定義即可以得到．

解答：解：（Ⅰ）把（1，2）代入函數(shù)f（x）=a^x，得a=2，
所以數(shù)列{a_n}的n項(xiàng)和為S_n=f（n）-1=2ⁿ-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也適合，∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由a=2，  bn=

log

an+1 a

得b_n=n，所以a_nb_n=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①
  2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ ②
由①-②得-T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

2n-1

2-1

-n•2n=2n-1-n•2n
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1；
（Ⅲ）cn=(n+1)•(

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)n∵cn+1-cn=（n+2）(

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)n+1-(n+1)•(

10

11

)n=(

10

11

)n•

9-n

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．
當(dāng)n＜9時(shí)，c_n+1-c_n＞0，即c_n+1＞c_n；當(dāng)n=9時(shí)，c_n+1-c_n=0，即c_n+1=c_n；
當(dāng)n＞9時(shí)，c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n．故，
故數(shù)列中有最大值為第9、10項(xiàng)c9=c10=

1010

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．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用條件解出方程，還考查了已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求其通項(xiàng)，及利用數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，并且還考查了利用數(shù)列的最大項(xiàng)的定義求出數(shù)列的最大項(xiàng)，同時(shí)還考查了數(shù)列的計(jì)算能力．