P是以F1、F2為焦點的雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上的一點，已知
PF1
•
PF2
=0，|
PF1
|=2|
PF2
|．
（1）試求雙曲線的離心率e；
（2）過點P作直線分別與雙曲線兩漸近線相交于P1、P2兩點，當(dāng)
OP1
•
OP2
=-
27
4
，2
PP1
+
PP2
=0，求雙曲線的方程．
解（1）∵|
PF1
|=2|
PF2
|，|
PF1
|-|
PF2
|=2a，∴|
PF1
|=4a，|
PF2
|=2a．
∵
PF1
•
PF2
=0，∴（4a）2+（2a）2=（2c）2，∴e=
c
a
=
5
．
（2）由（1）知，雙曲線的方程可設(shè)為
x2
a2
-
y2
4a2
=1，漸近線方程為y=±2x．
設(shè)P1（x1，2x1），P2（x2，-2x2），P（x，y）．
∵
OP1
•
OP2
=-3x1x2=-
27
4
，∴x1x2=
9
4
．∵2
PP1
+
PP2
=0，∴
x=
2x1+x2
3
y=
2(2x1-x2)
3
.

∵點P在雙曲線上，∴
(2x1+x2)2
9a2
-
(2x1-x2)2
9a2
=1．
化簡得，x1x2=
9a2
8
．∴
9a2
8
=
9
4
．∴a2=2．∴雙曲線的方程為
x2
2
-
y2
8
=1
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P是以F1、F2為焦點的橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (a＞b＞0)上的任一點，∠F1PF2最大值是120°，求橢圓離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的一點，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2=
1
2
，則此橢圓的離心率為（　�。�
A、
1
2
B、
2
3
C、
1
3
D、
5
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1上的一點，若
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=2，則此雙曲線的離心率為（　　）
A、
5
B、5
C、2
5
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的一點，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
1
2
，則此橢圓的離心率為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
1
2
，則該橢圓的離心率等于
5
3
5
3
．

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