Question

（文）橢圓上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離比為1：2，則橢圓離心率取值范圍為

[

1

3

，1)

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓上點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F₁、F₂距離比為1：2，則PF₁=r，PF₂=2r，可得2a=PF₁+PF₂=3r．再由橢圓上動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁-PF₂|≤2c，可得

2

3

a≤6c，最后結(jié)合橢圓的離心率滿足0＜e＜1，得到該橢圓的離心率e的取值范圍．

解答：解：設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，
∵點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F₁、F₂距離比為1：2，
∴設(shè)PF₁=r，則PF₂=2r，可得2a=PF₁+PF₂=3r，r=

2

3

a
∵|PF₁-PF₂|=r≤2c，（當(dāng)P點(diǎn)在F₂F₁延長(zhǎng)線上時(shí)，取等號(hào)）
∴

2

3

a≤2c，所以橢圓離心率e=

c

a

≥

1

3

又∵橢圓的離心率滿足0＜e＜1，
∴該橢圓的離心率e∈[

1

3

，1)
故答案為：[

1

3

，1)

點(diǎn)評(píng)：本題在已知橢圓上動(dòng)點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)距離之比等于1：2的情況下，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．