Question

已知函數(shù)y=lg（ax²-2x+2）．
（1）若函數(shù)y=lg（ax²-2x+2）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若方程lg（ax²-2x+2）=1在[

1

2

，2]內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）此函數(shù)的值域?yàn)镽，等價(jià)于真數(shù)ax²-2x+2能取遍一切正實(shí)數(shù)，由a=0時(shí)，顯然成立，a≠0時(shí)，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)得關(guān)于a的不等式，即可解得a的范圍；
（2）將對(duì)數(shù)方程有解問題轉(zhuǎn)化為二次方程有解問題，進(jìn)而參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在[

1

2

，2]內(nèi)值域問題，最后利用換元法求二次函數(shù)值域即可

解答：解：（1）∵函數(shù)y=lg（ax²-2x+2）的值域?yàn)镽
∴y=ax²-2x+2能取遍一切正實(shí)數(shù)
∴a=0或

a＞0 △=4-8a≥0

∴0≤a≤

1

2

（2）∵方程lg（ax²-2x+2）=1在[

1

2

，2]內(nèi)有解，
即 ax²-2x+2=10 在[

1

2

，2]內(nèi)有解，
即a=

2x+8

x2

=

2

x

+

8

x2

 在[

1

2

，2]內(nèi)有解，
設(shè)t=

1

x

，則t∈[

1

2

，2]，a=2t+8t²=8（t+

1

8

）²-

1

8

∴當(dāng)t=

1

2

時(shí)，a取最小值3，當(dāng)t=2時(shí)，a取最大值36
∴a∈[3，36]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的值域的求法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法