Question

(本題滿(mǎn)分13分)如圖，棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的所有棱長(zhǎng)都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．   （Ⅰ）證明：BD⊥AA₁；

   （Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值；  （Ⅲ）在直線(xiàn)CC₁上是否存在點(diǎn)P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

                   

Answer 1

(Ⅰ)見(jiàn)解析    (Ⅱ)   （Ⅲ）存在

解析:

連接BD交AC于O，則BD⊥AC，

連接A₁O在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，

∠A₁AO=60°∴A₁O²=AA₁²+AO²－2AA₁·Aocos60°=3

∴AO²+A₁O²=A₁²∴A₁O⊥AO，

由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，所以A₁O⊥底面ABCD

∴以O(shè)B、OC、OA₁所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立如圖所示

空間直角坐標(biāo)系，則A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），

D（－，0，0），A₁（0，0，）……2分

（Ⅰ）由于則

∴BD⊥AA₁……4分 

（Ⅱ）由于OB⊥平面AA₁C₁C∴平面AA₁C₁C的法向量

設(shè)⊥平面AA₁D則得到……6分

所以二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是  8分

（Ⅲ）假設(shè)在直線(xiàn)CC₁上存在點(diǎn)P，使BP//平面DA₁C₁設(shè)則得…9分

設(shè)則設(shè)

得到…………10分

又因?yàn)?img width=37 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/17/117617.gif">平面DA₁C₁則·

即點(diǎn)P在C₁C的延長(zhǎng)線(xiàn)上且使C₁C=CP……………………12分

法二：在A₁作A₁O⊥AC于點(diǎn)O，由于平面AA₁C_??1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理知，A₁O⊥平面ABCD，

又底面為菱形，所以AC⊥BD

（Ⅱ）在△AA₁O中，A₁A=2，∠A₁AO=60°

∴AO=AA₁·cos60°=1

所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，由于底面ABCD為菱形，所以

O也是BD中點(diǎn)

由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA₁C

過(guò)O作OE⊥AA₁于E點(diǎn)，連接OE，則AA₁⊥DE

則∠DEO為二面角D—AA₁—C的平面角

……………………6分

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2∴AO=1，DO=

在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=

DE=∴cos∠DEO=

∴二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是…………8分

（Ⅲ）存在這樣的點(diǎn)P連接B₁C，因?yàn)锳₁B₁AB_DC

∴四邊形A₁B₁CD為平行四邊形�！郃₁D//B₁C

在C₁C的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)P，使C₁C=CP，連接BP……10分

因B_??1??BCC₁，……12分∴BB₁CP

∴四邊形BB₁CP為平行四邊形則BP//B₁C∴BP//A₁D∴BP//平面DA₁C₁