Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)．求證：k_PM•k_PN是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓定義集合已知條件求得a，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入橢圓方程求得b，則橢圓方程可求，由c²=a²-b²求出c后可得焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)出線段F₁K的中點(diǎn)坐標(biāo)及K點(diǎn)坐標(biāo)，有重點(diǎn)坐標(biāo)公式得到坐標(biāo)關(guān)系，利用代入法求得線段F₁K的中點(diǎn)軌跡方程；
（3）設(shè)出M點(diǎn)及N點(diǎn)坐標(biāo)，在設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫出PM與PN所在直線的斜率，作積后把點(diǎn)的縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，整理后可得要證明的結(jié)論．

解答：解：（1）由橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，可知2a=4，即a=2．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，把點(diǎn)A（1，

3

2

）代入得：

1

4

+

9

4b2

=1，解得b²=3．
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
由c²=a²-b²=4-3=1，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）；
（2）設(shè)線段F₁K的中點(diǎn)為G（x，y），K（x₀，y₀），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

-1+x0=2x y0=2y

，即

x0=2x+1 y0=2y

，代入橢圓方程得：

(2x+1)2

4

+

4y2

3

=1．
∴線段F₁K的中點(diǎn)軌跡方程為

(2x+1)2

4

+

4y2

3

=1．
（3）設(shè)點(diǎn)M（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），其中

m2

a2

+

n2

b2

=1．
則n2=b2-

b2

a2

m2．
又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則

x02

a2

+

y02

b2

=1，y02=b2-

b2

a2

x02．
由k_PM=

y0-n

x0-m

，k_PN=

y0+n

x0+m

，
得k_PM×k_PN═

y0-n

x0-m

×

y0+n

x0+m

=

y02-n2

x02-m2

，
將y02=b2-

b2

a2

x02，n2=b2-

b2

a2

m2代入得k_PM×k_PN=

y02-n2

x02-m2

，得
k_PM×k_PN=

b2- b2 a2 x02-b2+ b2 a2 m2

x02-m2

=

b2

a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了代入法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是壓軸題．