Question

【題目】若函數(shù)對任意的，均有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).

（1）判斷下面兩個函數(shù)是否具有性質(zhì)，并證明：①（）；②；

（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，且（，），

①求證：對任意，有；

②是否對任意，均有？若有，給出證明，若沒有，給出反例.

Answer 1

【答案】（1）①具有，②不具有，（2）①見解析②不成立

【解析】

（1）①根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)的運算性質(zhì)，計算出f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）的表達式，進而根據(jù)基本不等式，判斷其符號即可得到結(jié)論；②由y＝x3，舉出當x＝﹣1時，不滿足f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），即可得到結(jié)論；

（2）①由于本題是任意性的證明，從下面證明比較困難，故可以采用反證法進行證明，即假設(shè)f（i）為f（1），f（2），…，f（n﹣1）中第一個大于0的值，由此推理得到矛盾，進而假設(shè)不成立，原命題為真；

②由（2）①中的結(jié)論，我們可以舉出反例，如證明對任意x∈[0，n]均有f（x）≤0不成立．

（1）①函數(shù)f（x）＝ax（a＞1）具有性質(zhì)P．

，

因為a＞1，，

即f（x﹣1）+f（x+1）＞2f（x），

此函數(shù)為具有性質(zhì)P．

②函數(shù)f（x）＝x3不具有性質(zhì)P．

例如，當x＝﹣1時，f（x﹣1）+f（x+1）＝f（﹣2）+f（0）＝﹣8，2f（x）＝﹣2，

所以，f（﹣2）+f（0）＜f（﹣1），

此函數(shù)不具有性質(zhì)P．

（2）①假設(shè)f（i）為f（1），f（2），…，f（n﹣1）中第一個大于0的值，

則f（i）﹣f（i﹣1）＞0，

因為函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，

所以，對于任意n∈N*，均有f（n+1）﹣f（n）≥f（n）﹣f（n﹣1），

所以f（n）﹣f（n﹣1）≥f（n﹣1）﹣f（n﹣2）≥…≥f（i）﹣f（i﹣1）＞0，

所以f（n）＝[f（n）﹣f（n﹣1）]+…+[f（i+1）﹣f（i）]+f（i）＞0，

與f（n）＝0矛盾，

所以，對任意的i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0．

②不成立．

例如

證明：當x為有理數(shù)時，x﹣1，x+1均為有理數(shù)，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）＝（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2﹣n（x﹣1+x+1﹣2x）＝2，

當x為無理數(shù)時，x﹣1，x+1均為無理數(shù)，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）＝（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2＝2

所以，函數(shù)f（x）對任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），

即函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P．

而當x∈[0，n]（n＞2）且當x為無理數(shù)時，f（x）＞0．

所以，在①的條件下，“對任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立．