Question

【題目】已知點(diǎn)F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F2的距離是 ，線段MF1的中垂線交線段MF2于點(diǎn)P． （Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M變化時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F2且不與x軸重合的直線L與曲線G相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線與直線x=2相交于點(diǎn)C，則直線AC是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是請(qǐng)求出該定點(diǎn)，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵P在線段MF1的中垂線上，∴PM=PF1 ， 又P在線段MF2上，∴PM+PF2=MF2=2 ，
∴PF1+PF2=2 ，而F1F2=2，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G是以F1 ， F2為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓方程為 ，則2a=2 ，c=1，∴a= ，b=1，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 ．
（Ⅱ）①當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，不妨取 ， ，
∴C（2，﹣ ），直線AC的方程為 x+y﹣ =0，
此時(shí)易知AC過(guò)點(diǎn) ．
②當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：y=k（x﹣1）
聯(lián)立方程組 ，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
設(shè)A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），則C（2，y2），且x1+x2= ， ，
直線AC方程為 ，
∴ = = = = ．
當(dāng) 時(shí)，y=0；
綜上可知，直線AC恒過(guò)定點(diǎn) ．
【解析】（I）由中垂線性質(zhì)可得PM+PF2=MF2=2 ，故而P點(diǎn)軌跡為F1 ， F2為焦點(diǎn)的橢圓，利用定義求出a，b即可得出方程；（II）討論直線l的斜率，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出直線AC的方程，根據(jù)方程判斷即可．