【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調性；

（2）若，證明：.

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，對實數(shù)分和兩種情況討論，分析導數(shù)在區(qū)間上符號的變化，由此可得出函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）證法一：構造函數(shù)，其中，利用導數(shù)分析得知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，由可得出；

證法二：分和時，在時，由函數(shù)在上的單調性可得出，在時，由（1）中的結論，結合可證明出，綜合得出結論.

（1）函數(shù)的定義域為，，

若時，則，此時在單調遞減，

若時，則由得，

當時，，函數(shù)在單調遞減，

當時，，函數(shù)在單調遞增，

綜上所述，當時，在單調遞減；若時，在單調遞減，在單調遞增；

（2）證法一：設，

，

，

所以在上為減函數(shù)，又，所以，

即，即；

證法二：由（1）得，當時，在單調遞減，

因，所以，

當時，在單調遞減.

因為，所以，

又因為，所以，所以.

綜上所述，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某保險公司的某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)

0

1

2

3

保費（元）

隨機調查了該險種的400名續(xù)保人在一年內的出險情況，得到下表：

出險次數(shù)

0

1

2

3

頻數(shù)

280

80

24

12

4

該保險公司這種保險的賠付規(guī)定如下：

出險序次

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次及以上

賠付金額（元）

0

將所抽樣本的頻率視為概率.

（Ⅰ）求本年度續(xù)保人保費的平均值的估計值；

（Ⅱ）按保險合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內出險3次，則可獲得賠付元；若續(xù)保人在本年度內出險6次，則可獲得賠付元；依此類推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計值；

（Ⅲ）續(xù)保人原定約了保險公司的銷售人員在上午10:30~11:30之間上門簽合同，因為續(xù)保人臨時有事，外出的時間在上午10:45~11:05之間，請問續(xù)保人在離開前見到銷售人員的概率是多少？

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【題目】設函數(shù).

（1）討論的單調區(qū)間；

（2）證明：若，對任意的，有．

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【題目】在平面內，將一個圖形繞一點按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉，如圖，小盧利用圖形的旋轉設計某次活動的徽標，他將邊長為a的正三角形ABC 繞其中心O逆時針旋轉到三角形A1B1C1，且.順次連結A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六邊形徽標AA1BB1CC1 .

(1)當＝時，求六邊形徽標的面積；

(2)求六邊形徽標的周長的最大值.

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【題目】如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，直線平面，，分別是，的中點.

（Ⅰ）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關系，并加以證明；

（Ⅱ）設，求二面角大小的取值范圍.

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【題目】為檢查某工廠所生產的8萬臺電風扇的質量，抽查了其中20臺的無故障連續(xù)使用時限（單位：小時） 如下：

248 256 232 243 188 268 278 266 289 312

274 296 288 302 295 228 287 217 329 283

分組

頻數(shù)

頻率

頻率/組距

總計

0.05

（1）完成頻率分布表，并作出頻率分布直方圖；

（2）估計8萬臺電風扇中有多少臺無故障連續(xù)使用時限不低于280小時；

（3）用組中值（同一組中的數(shù)據(jù)在該組區(qū)間的中點值）估計樣本的平均無故障連續(xù)使用時限.

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【題目】下列四個命題：①任意兩條直線都可以確定一個平面；②若兩個平面有3個不同的公共點，則這兩個平面重合；③直線a，b，c，若a與b共面，b與c共面，則a與c共面；④若直線l上有一點在平面α外，則l在平面α外.其中錯誤命題的個數(shù)是（　�。�

A.1B.2C.3D.4

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