【題目】已知橢圓的離心率是，且過點(diǎn).直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求的面積的最大值；

（Ⅲ）設(shè)直線， 分別與軸交于點(diǎn)， .判斷， 大小關(guān)系，并加以證明.

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

(1)由題意求得 ，所以橢圓的方程為．

(2) 聯(lián)立直線與橢圓的方程，由題意可得．三角形的高為．，面積表達(dá)式，當(dāng)且僅當(dāng)時， ．即的面積的最大值是．

(3)結(jié)論為．利用題意有．所以．

試題解析：

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為．

因?yàn)闄E圓的離心率是，

所以 ， 即 ．

由 解得

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）將代入，

消去整理得．

令，解得．

設(shè)．

則， ．

所以

．

點(diǎn)到直線的距離為．

所以的面積

，

當(dāng)且僅當(dāng)時， ．

所以的面積的最大值是．

（Ⅲ）．證明如下：

設(shè)直線， 的斜率分別是， ，

則．

由（Ⅱ）得

，

所以直線， 的傾斜角互補(bǔ)．

所以，

所以．

所以．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是：“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半．”如果墻足夠厚，為前天兩只老鼠打洞之和，則_________________尺．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，，．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)與圖像的交點(diǎn)個數(shù)．

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【題目】袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲，乙二人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球即終止，每個球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的.

（Ⅰ）求袋中原有白球的個數(shù)：

（Ⅱ）求取球次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】命題p：任意兩個等邊三角形都是相似的．

①它的否定是_________________________________________________________；

②否命題是_____________________________________________________________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）函數(shù)，，求函數(shù)的最小值；

（2）對任意，都有成立，求的范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象（能力指標(biāo)）、推理（能力指標(biāo)）、建模（能力指標(biāo)）的相關(guān)性，并將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標(biāo)的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果：

學(xué)生編號

（1）在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率；

（2）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級不是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，記隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若存在，使得成立，求滿足條件的最大整數(shù)；

（3）如果對任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】空間四邊形PABC的各邊及對角線長度都相等，D、E、F、G分別是AB、BC、CA、AP的中點(diǎn)，下列四個結(jié)論中成立的是
①BC∥平面PDF
②DF⊥平面PAE
③平面GDF∥平面PBC
④平面PAE⊥平面ABC．

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