Question

設等比數(shù)列{a_n}的首項為a，公比q＞0且q≠1，前n項和為S_n．
（Ⅰ）當a=1時，S₁+1，S₂+2，S₃+1三數(shù)成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）對任意正整數(shù)n，命題甲：S_n，（S_n+1+1），S_n+2三數(shù)構成等差數(shù)列． 命題乙：S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三數(shù)構成等差數(shù)列．求證：對于同一個正整數(shù)n，命題甲與命題乙不能同時為真命題．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是首項為a=1，公比q＞0且q≠1的等比數(shù)列，
∴，∴S₁+1=1+1=2，S₂+2=1+q+2=q+3，S₃+1=1+q+q²+1=2+q+q²，
又∵S₁+1，S₂+2，S₃+1三數(shù)成等差數(shù)列，∴2（S₂+2）=（S₁+1）+（S₃+1），∴2（q+3）=2+2+q+q²，化為q²-q-2=0，
解得q=2，或q=-1，
∵q＞0，∴q=2，∴．
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為．
（Ⅱ）對任意正整數(shù)n，命題甲：S_n，（S_n+1+1），S_n+2三數(shù)構成等差數(shù)列，?2（S_n+1+1）=S_n+S_n+2?a_n+2=a_n+1+2；
對任意正整數(shù)n，命題乙：S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三數(shù)構成等差數(shù)列，?2（S_n+2+1）=S_n+1+S_n+3?a_n+3=a_n+2+2
若對于同一個正整數(shù)n，命題甲與命題乙同時為真命題，則a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1．
∴，又，
∴q²-2q+1=0，∴q=1與已知q≠1相矛盾．
所以對于同一個正整數(shù)n，命題甲與命題乙不能同時為真命題．
分析：（Ⅰ）由已知條件S₁+1，S₂+2，S₃+1三數(shù)成等差數(shù)列，∴2（S₂+2）=（S₁+1）+（S₃+1），再由通項公式及前n項和公式及a=1，可求出q的值．
（Ⅱ）先假設對于同一個正整數(shù)n，命題甲與命題乙同時為真命題，由此可得出q=1，從而得出矛盾．
點評：本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，熟練掌握以上有關知識是解決問題的關鍵．