Question

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,（n∈N*）．

（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組符合條件的項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）不存在滿足條件的三項(xiàng)

【解析】

（1）由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）假設(shè)存在，且，使得成等差數(shù)列，然后推出矛盾可得假設(shè)不成立,從而可得不存在滿足條件的三項(xiàng)．

（1）證明：∵，∴，

則，∴，

即，

∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，

,，則，

∴；

（2）解：，

，

令，①

，②

①-②得，，

，

∴；

（3）解：設(shè)存在，且，使得成等差數(shù)列，

則，

即，

即，，

∵為偶數(shù)，為奇數(shù)，

∴不成立，故不存在滿足條件的三項(xiàng)．