【題目】如圖,在三棱柱中,平面為正三角形, 側(cè)面是邊長為的正方形,為的中點.

（1）求證平面;

（2）求二面角的余弦值;

（3）試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明.

【答案】（1）證明見解析（2）（3）直線與平面相交.證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)線面平行的判定定理,在面內(nèi)找一條直線平行于即可．所以連接交與點，再連接，由中位線定理可得，即可得證；

（2）取的中點，連接．分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)二面角的向量方法即可求出；

（3）根據(jù)平面的法向量與直線的方向向量的關(guān)系，即可判斷直線與平面的位置關(guān)系．

（1）由題意，三棱柱為正三棱柱．

連接． 設(shè)，則是的中點．連接， 由，分別為和的中點，得．又因為平面，平面，

所以平面．

（2）取的中點，連接．

因為為正三角形，且為中點，所以．

由，分別為和的中點，得，

又因為平面， 所以平面，即有，．

分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

所以，，，，

設(shè)平面的法向量，

由，，得

令，得．

設(shè)平面的法向量，

由，，得

令，得．

設(shè)二面角的平面角為，則 ．

由圖可得二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．

（3）結(jié)論：直線與平面相交．

證明：因為，，且，

所以．

又因為平面的法向量，且，

所以與不垂直，

因為平面，且與平面不平行，

故直線與平面相交．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一點，，，，，.

（1）求異面直線與所成的角；

（2）求證：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司為了了解年研發(fā)資金投人量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.對公司近年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)，進行了對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①，②，其中、、、均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).并得到一些統(tǒng)計量的值.令，，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：

（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？

（2）（ⅰ）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；

（ⅱ）若下一年銷售額需達到億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？

附：①相關(guān)系數(shù)，

回歸直線中公式分別為：，；

②參考數(shù)據(jù)：，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的長軸是短軸的兩倍，以短軸一個頂點和長軸一個頂點為端點的線段作直徑的圓的周長等于，直線l與橢圓C交于兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點O作直線l的垂線，垂足為D.若，求動點D的軌跡方程.

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【題目】已知點為平面內(nèi)一定點，動點為平面內(nèi)曲線上的任意一點，且滿足，過原點的直線交曲線于兩點.

（1）證明：直線與直線的斜率之積為定值；

（2）設(shè)直線，交直線于、兩點，求線段長度的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（　�。�

A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．

B.與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長．

C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個

D.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列,滿足（…）．

（1）若，求的值；

（2）若且，則數(shù)列中第幾項最小？請說明理由；

（3）若（n=1,2,3,…），求證：“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分必要條件是“數(shù)列為等差數(shù)列且（n=1,2,3,…）”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，其中，同時滿足：

①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)：②當(dāng)定義域為時，的值域為，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，區(qū)間稱為“保值函數(shù)”.

（1）求證：函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”；

（2）若函數(shù)（）是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，求的取值范圍；

（3）對（2）中函數(shù)，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極，z軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

(Ⅰ)求曲線C的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)設(shè)點．若直線與曲線C相交于A，B兩點，求的值．

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