【題目】如圖,為橢圓的左右焦點,是橢圓的兩個頂點,,若點在橢圓上,則點稱為點的一個橢點.直線與橢圓交于兩點兩點的橢點分別為,已知以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)試探討的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由.

【答案】(1);(2)的面積為定值1.

【解析】

試題分析:(1)要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,一般要找到兩個關(guān)于的等式,由橢圓的幾何性質(zhì),題中兩個線段長正好提供了兩個等式,一個,即為,即為,再由,可得值;(2)本小題是定值問題的研究,首先設(shè),,寫出橢圓點坐標(biāo).由已知可得它們的關(guān)系:.接著考慮直線,分類討論斜率不存在,以及斜率存在兩種情形,對斜率不存在的特殊情形可直接求出點坐標(biāo),對斜率存在時,可設(shè)方程為,代入橢圓方程后可得,從而得,代入的關(guān)系式,此時可驗證下判別式,由直線與橢圓相交的弦長公式求得,由點到直線距離公式可求得上的高,從而求得

試題解析:(1)由題可得解得,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)設(shè),.,.(*

當(dāng)直線的斜率不存在時,.

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其直線為,聯(lián)立

,,同理,代入(*),整理得,此時,.

綜上,的面積為定值1.

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