Question

已知函數(shù)，方程f（x）=-2x+7有兩個根x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂＜3．
（1）求自然數(shù)a的值及f（x）的解析式；
（2）記等差數(shù)列{a_n}和等差數(shù)列{b_n}的前n項和分別為S_n和T_n，且，設(shè)，求g（n）的解析式及g（n）的最大值；
（3）在（2）小題的條件下，若a₁=10，寫出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項，并探究在數(shù)列{a_n}和{b_n}中是否存在相等的項？若有，求這些相等項從小到大排列所成數(shù)列{c_n}的通項公式；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由得：6x²+（a²-23）x+8=0；
令h（x）=6x²+（a²-23）x+8，由x₁＜1＜x₂＜3得：，
又a∈N，所以有：a=2；…（5分）
所以；　　　　　　…（6分）
（2），并且結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得：
，
所以；…（8分）
并且．…（12分）
（3），由；　　　　　　　　　　…（13分）
設(shè)數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的公差分別為d₁，d₂；
所以…（16分）
若存在相等的項a_k=b_p（k，p∈N^*），即16k-6=12p-8?6p-8k=1①
①式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立，
故不存在滿足條件的數(shù)列{c_n}．…（18分）
分析：（1）由方程f（x）=-2x+76可以化簡為：x²+（a²-23）x+8=0，令h（x）=6x²+（a²-23）x+8，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得a=2，進而求出函數(shù)的解析式．
（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，即可求出函數(shù)g（n）的表達式，進而利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求出其最大值．
（3），由，再利用（2）中的解析式與等差數(shù)列的性質(zhì)可得兩個數(shù)列的通項公式，進而假設(shè)存在相等的項a_k=b_p，可得矛盾即可得到答案．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)與等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項公式、函數(shù)求最值等知識點．