【題目】在四棱錐中,平面,是正三角形,與的交點(diǎn)恰好是中點(diǎn),又,.
(1)求證:;
(2)設(shè)為的中點(diǎn),點(diǎn)在線(xiàn)段上,若直線(xiàn)平面,求的長(zhǎng);
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)1;(3).
【解析】
(1)利用線(xiàn)面垂直的判定定理,證明BD⊥平面PAC,可得BD⊥PC;(2)取DC中點(diǎn)G,連接FG,證明平面EFG∥平面PAD,可得FG∥平面PAD,證明三角形AMF為直角三角形,即可求AF的長(zhǎng);(3)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PAC、平面PBC的法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
(1)∵是正三角形,是中點(diǎn),
∴,即.
又∵平面,∴.
又,∴平面.
∴.
(2)取中點(diǎn),連接,則平面,
又直線(xiàn)平面,EG∩EF=E,所以平面平面,所以
∵為中點(diǎn),,∴.
∵,,∴,則三角形AMF為直角三角形,又,故
(3)分別以,,為軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,
∴,,,.
為平面的法向量.
,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,即,
令,得,,則平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)二面角的大小為,則.
所以二面角余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),。
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓C:(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,橢圓C上的兩點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且滿(mǎn)足,|FB|≤|FA|≤2|FB|,則橢圓C的離心率的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線(xiàn),設(shè)圓的半徑為1, 圓心在上.
(1)若圓心也在直線(xiàn)上,過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn),求切線(xiàn)方程;
(2)若圓上存在點(diǎn),使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),m∈R
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若m∈(-1,0),證明:對(duì)任意的x1,x2∈[1,1-m],4f(x1)+x2<5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形為矩形,,均為等邊三角形,,.
(1)過(guò)作截面與線(xiàn)段交于點(diǎn),使得平面,試確定點(diǎn)的位置,并予以證明;
(2)在(1)的條件下,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知直線(xiàn)2x﹣y﹣1=0與直線(xiàn)x﹣2y+1=0交于點(diǎn)P.
(Ⅰ)求過(guò)點(diǎn)P且平行于直線(xiàn)3x+4y﹣15=0的直線(xiàn)的方程;(結(jié)果寫(xiě)成直線(xiàn)方程的一般式)
(Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)P并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程(結(jié)果寫(xiě)成直線(xiàn)方程的一般式)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是2,平面ABC,D,E分別是AC,的中點(diǎn).
求證:平面;
求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的直徑AB=3,點(diǎn)C為⊙O上異于A,B的一點(diǎn),平面ABC,且,點(diǎn)M為線(xiàn)段VB的中點(diǎn).
(1)求證:平面VAC;
(2)若AB與平面VAC所成角的余弦值為,求二面角的余弦值.
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