Question

【題目】已知函數(shù)，a∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)在(1,2)上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或或

【解析】試題分析：(1)求導(dǎo)，討論的取值，研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變換得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)通過(guò)研究所給區(qū)間和前一問(wèn)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行求解．

試題解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?/span>{x|x≠a}．f′(x)＝.

①當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝1，

則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)．

②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0，得x>2a或x<0，

此時(shí)0<a<2a；由f′(x)<0，得0<x<a或a<x<2a，

則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2a，＋∞)，(－∞，0)，

單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)，(a,2a)．

③當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)>0，得x>0或x<2a，此時(shí)2a<a<0；由f′(x)<0，得2a<x<a或a<x<0，

則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，2a)，(0，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2a，a)，(a,0)．

(2)①當(dāng)a≤0時(shí)，由(1)可知，f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，滿足題意；

②當(dāng)0<2a≤1，即0<a≤時(shí)，由(1)可知，f(x)在(2a，＋∞)上單調(diào)遞增，即在(1,2)上單調(diào)遞增，滿足題意；

③當(dāng)1<2a<2，即<a<1時(shí)，由(1)可得，f(x)在(1,2)上不具有單調(diào)性，不滿足題意；

④當(dāng)2a＝2，即a＝1時(shí)，由(1)可知，f(x)在(a,2a)上單調(diào)遞減，即在(1,2)上單調(diào)遞減，滿足題意；

⑤當(dāng)1<a<2時(shí)，因?yàn)?/span>f(x)的定義域?yàn)?/span>{x|x≠a}，顯然f(x)在(1,2)上不具有單調(diào)性，不滿足題意；

⑥當(dāng)a≥2時(shí)，由(1)可知，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，即在(1,2)上單調(diào)遞減，滿足題意．

綜上所述，a≤或a＝1或a≥2.