如圖，已知斜三棱柱（側棱不垂直于底面）ABC-A1B1C1的側面A1ACC1與底面ABC垂直，BC=2，AC=2
3
，AB=2
2
，AA1=A1C=
6
．
（Ⅰ） 設AC的中點為D，證明A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ） 求異面直線A1C與AB成角的余弦值．
分析：（Ⅰ）利用平面A1ACC1⊥平面ABC，可證A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）過B作AC的垂線BE，垂足為E，以D為原點，A1D所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，平行于BE的直線為x軸，建立空間直角坐標系，通過計算求出向量
A1C
，
AB
的坐標，利用向量的夾角公式即可求得．
解答：（Ⅰ）證明：∵AC=2
3
，AA1=A1C=
6
，∴AC2=AA12+A1C2，
∴△AA1C是等腰直角三角形，
又D是斜邊AC的中點，∴A1D⊥AC，
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）∵BC=2，AC=2
3
，AB=2
2
，AC2=AB2+BC2，
∴三角形ABC是直角三角形，過B作AC的垂線BE，垂足為E，
則BE=
AB•BC
AC
=
2•2
2
2
3
=
2
6
3
，EC=
BC2-BE2
=
4-
8
3
=
2
3
3
，
∴DE=CD-EC=
3
-
2
3
3
=
3
3
，
以D為原點，A1D所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，平行于BE的直線為x軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

則A（0，-
3
，0），A1（0，0，
3
），B（
2
6
3
，
3
3
，0），C（0，
3
，0），
A1C
=（0，
3
，-
3
），
AB
=（
2
6
3
，
4
3
3
，0），
所以cos＜
A1C
，
AB
＞=
A1C
•
AB
|
A1C
||
AB
|
=
6
3
，
故所求余弦值為
6
3
．
點評：本題考查空間中直線與平面所成的角、異面直線所成的角，考查空間向量在立體幾何中的應用，考查學生的計算能力．
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)（甲）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面A1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，又AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求側棱A1A與底面ABC所成的角的大��；
（2）求側面A1B與底面所成二面角的大��；
（3）求點C到側面A1B的距離．
（乙）在棱長為a的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF．
（1）求證：A'F⊥C'E；
（2）當三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時，求二面角B'-EF-B的大�。ńY果用反三角函數(shù)表示）．

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如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D為BC的中點．
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（2）求證：A1B∥平面ADC1．

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如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，且BA1⊥AC1．
（1）求證：AC1⊥平面A1BC；
（2）求多面體B1C1ABC的體積．

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