【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,E是PB上任意一點(diǎn),△AEC面積的最小值是3.
(Ⅰ)求證:AC⊥DE;
(Ⅱ)求四棱錐P﹣ABCD的體積.

【答案】解:(Ⅰ)證明:連接BD,設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以AC⊥BD.
又因?yàn)镻D⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以PD⊥AC.
而AC∩BD=F,所以AC⊥平面PDB.
E為PB上任意一點(diǎn),DE平面PBD,所以AC⊥DE.
(Ⅱ)連EF.由(Ⅰ),知AC⊥平面PDB,EF平面PBD,所以AC⊥EF.
SACE=ACEF,在△ACE面積最小時(shí),EF最小,則EF⊥PB.
SACE=×6×EF=3,解得EF=1.
由△PDB∽△FEB,得PD:EF=BP:FB.
由于EF=1,F(xiàn)B=4,PB= ,所以PB=4PD,即=4PD.
解得PD=
VPABCD=SABCDPD=×24×=
【解析】(I)連接BD,設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F.由已知中在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,我們易得AC⊥BD,PD⊥AC,由線面垂直的判定定理可以得AC⊥平面PDB,再由線面垂直的性質(zhì)定理,即可得到AC⊥DE;
(Ⅱ)連接EF,由(Ⅰ)的結(jié)論可知AC⊥平面PDB,EF平面PBD,所以AC⊥EF,結(jié)合已知中AC=6,BD=8,E是PB上任意一點(diǎn),△AEC面積的最小值是3.我們可以求出EF,F(xiàn)B,PD的值,將PD值,及底面四邊形ABCD的面積求出后,代入棱錐體積公式,即可得到答案.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面垂直的性質(zhì)(垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=BB1,DAC上的點(diǎn),B1C∥平面A1BD;

(1)求證:BD⊥平面;

(2)若,求三棱錐A-BCB1的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】要想得到函數(shù)y=sin(x﹣ )的圖象,只須將y=cosx的圖象(
A.向右平移 個(gè)單位
B.向右平移 個(gè)單位
C.向左平移 個(gè)單位
D.向左平移 個(gè)單位

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn),N是棱CD上異于端點(diǎn)C,D的任一點(diǎn),則下列結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)有( 。
(1)MN⊥AB;
(2)若N為中點(diǎn),則MN與AD所成角為60°;
(3)平面CDM⊥平面ABN;
(4)不存在點(diǎn)N,使得過MN的平面與AC垂直.
A.1
B.2
C.3
D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD且PD=AD,則下列命題中錯(cuò)誤的是( 。

A.過BD且與PC平行的平面交PA于M點(diǎn),則M為PA的中點(diǎn)
B.過AC且與PB垂直的平面交PB于N點(diǎn),則N為PB的中點(diǎn)
C.過AD且與PC垂直的平面交PC于H點(diǎn),則H為PC的中點(diǎn)
D.過P、B、C的平面與平面PAD的交線為直線l,則l∥AD

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點(diǎn).
(1)判定AE與PD是否垂直,并說明理由.
(2)設(shè)AB=2,若H為PD上的動(dòng)點(diǎn),若△AHE面積的最小值為 , 求四棱錐P﹣ABCD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C).若線段AD長(zhǎng)為正整數(shù),則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有( 。

A.5個(gè)
B.4個(gè)
C.3個(gè)
D.2個(gè)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓 )的頂點(diǎn),且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn), 在橢圓上,且,記直線軸上的截距為,求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

設(shè)函數(shù),.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極小值;

(Ⅱ)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(Ⅲ)若對(duì)任意的,恒成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案