Question

【題目】本題滿分14分）

在數(shù)列中，，且.

(Ⅰ) 求，猜想的表達(dá)式，并加以證明；

(Ⅱ) 設(shè)，求證：對(duì)任意的自然數(shù)，都有；

Answer 1

【答案】

解：（1）容易求得：，；

猜想， 證明：見(jiàn)解析.

（2）見(jiàn)解析.

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的歸納猜想的思想的運(yùn)用，以及運(yùn)用哦遞推關(guān)系式來(lái)求解數(shù)列的前幾項(xiàng)，并且能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，同時(shí)對(duì)于構(gòu)造的新數(shù)列也能利用裂項(xiàng)法求和的綜合運(yùn)用。

（1）利用遞推關(guān)系，對(duì)于n賦值分別得到前幾項(xiàng)，并猜想其通項(xiàng)公式，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明

（2）根據(jù)上一問(wèn)的結(jié)論，表示新數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)的思想求和并證明不等式問(wèn)題。

解：（1）容易求得：，----------------------（2分）

故可以猜想， 下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

顯然當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，-----------------（3分）

假設(shè)當(dāng)；時(shí)（也可以），結(jié)論也成立，即

，--------------------------（4分）

那么當(dāng)時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：

------------（6分）

即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜上，對(duì),成立。--------（7分）

（2）---（9分）

所以

---------（11分）

所以只需要證明

（顯然成立）

所以對(duì)任意的自然數(shù)，都有-------（14分）