Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中為正實數(shù)．

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若在上無最小值，且在上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍，并由此判斷曲線與曲線在交點個數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

（Ⅱ）的取值范圍為，曲線與曲線在交點個數(shù)為0．

【解析】

試題（Ⅰ）由得 ，而，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（Ⅱ）求出的導(dǎo)函數(shù)，討論的范圍，由條件得時；由的導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，即 ，所以的取值范圍為；此時即，令，由函數(shù)單調(diào)性知的極小值為，故兩曲線沒有公共點．

試題解析：（Ⅰ）由得

的定義域為：

函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為

（Ⅱ）由

若則在上有最小值

當(dāng)時，在單調(diào)遞增無最小值

∵在上是單調(diào)增函數(shù)，∴在上恒成立

∴

綜上所述的取值范圍為

此時即，令，

則在單減，在單增，

極小值為．故兩曲線沒有公共點