Question

把邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長(zhǎng)為xcm的相等的正方形，然后折成一個(gè)高度為xcm的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體的盒子，要求長(zhǎng)方體的高度與底面邊長(zhǎng)的比值不超過(guò)常數(shù)k（k＞0），
（1）用x和k表示出長(zhǎng)方體的體積的表達(dá)式V=V（x），并給出函數(shù)的定義域；
（2）問(wèn)x取何值時(shí)，盒子的容積最大，最大容積是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)長(zhǎng)方體高為xcm，則底面邊長(zhǎng)為（60-2x）cm，（0＜x＜30），從而可得長(zhǎng)方體容積的函數(shù)表達(dá)式，利用長(zhǎng)方體的高度與底面邊長(zhǎng)的比值不超過(guò)常數(shù)k（k＞0），可求函數(shù)定義域；
（2）對(duì)（1）中的函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo)，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的定義域，分類求出V的最大值．

解答：解：（1）設(shè)長(zhǎng)方體高為xcm，則底面邊長(zhǎng)為（60-2x）cm，（0＜x＜30），
所以長(zhǎng)方體容積V=V（x）=x（60-2x）²=4x（x-30）²；…（4分）
∵

x

60-2x

≤k，∴0＜x≤

60k

2k+1

．
即函數(shù)定義域?yàn)?span id="geakie8" class="MathJye">(0，

60k

2k+1

]，…（6分）
（2）V′（x）=4（x-30）²+8x（x-30）=4（x-30）（3x-30）=12（x-30）（x-10）
令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合題意舍去）于是     …（8分）

x	（0，10）	10	（10，30）
V'（x）	+	0	-
V（x）	↑		↓

①當(dāng)10≤

60k

2k+1

，即k≥

1

4

時(shí)，在x=10時(shí)，V取得最大值為V_max=40•20²=16000；                  …（10分）
②當(dāng)

60

2k+1

＜10，即0＜k＜

1

4

時(shí)，在x=

60k

2k+1

時(shí)，V取得最大值Vmax=

216000k

(2k+1)3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的關(guān)鍵，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是利用長(zhǎng)方體的條件公式求出函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的最值，注意分類討論．