Question

（2004•河西區(qū)一模）把邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長(zhǎng)為x cm的相等的正方形，然后折成一個(gè)高度為x cm的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體的盒子，要求長(zhǎng)方體的高度與底面邊長(zhǎng)的比值不超過(guò)常數(shù)k（k＞0），問(wèn)x取何值時(shí)，盒子的容積最大，最大容積是多少？

Answer 1

分析：設(shè)長(zhǎng)方體高為x cm，求題意求出底面邊長(zhǎng)，并注明x的范圍，再求出長(zhǎng)方體容積V=V（x），再由條件求出函數(shù)的定義域，再求出V′（x），求出臨界點(diǎn)、列表格，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由表格對(duì)k進(jìn)行分類，分別求出V（x）的最大值和對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：設(shè)長(zhǎng)方體高為x cm，則底面邊長(zhǎng)為（60-2x）cm，（0＜x＜30）（1分）
長(zhǎng)方體容積V=V（x）=x（60-2x）²=4x（x-30）²（單位：cm³）（2分）
∵

x

60-2x

≤k，∴0＜x≤

60k

2k+1

．
即函數(shù)定義域?yàn)?span id="bcm2gcm" class="MathJye">(0，

60k

2k+1

]，（3分）
V′（x）=4（x-30）²+8x（x-30）=4（x-30）（3x-30）=12（x-30）（x-10）（5分）
令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合題意舍去），于是

x	（0，10）	10	（10，30）
V′（x）	+	0	-
V（x）	↑		↓

（7分）
①當(dāng)10≤

60k

2k+1

，即k≥

1

4

時(shí)，（8分）
在x=10時(shí)，V取得最大值為Vmax=40•202=16000（10分）
②當(dāng)

60

2k+1

＜10，即0＜k＜

1

4

時(shí)，在x=

60k

2k+1

時(shí)，V取得最大值Vmax=

216000k

(2k+1)3

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題等，注意自變量的實(shí)際意義，考查了分類討論思想．