【題目】如圖,△ABC的外接圓⊙O的半徑為5,CE垂直于⊙O所在的平面,BD∥CE,CE=4,BC=6,且BD=1,.
(1)求證:平面AEC⊥平面BCED;
(2)試問線段DE上是否存在點M,使得直線AM與平面ACE所成角的正弦值為?若存在,確定點M的位置;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)答案詳見解析;(2)存在,且.
【解析】
試題(1)要證明面面垂直,只需證明一個平面另一個平面的一條垂線,本題在中,求得,從而得為⊙O的直徑,故,從而可證明面,進而證明平面AEC⊥平面BCED;(2)以方向為軸的正方向建立空間直角坐標系,用坐標表示相關(guān)點,利用表示向量的坐標,利用列方程求的值,從而確定點的位置.
試題解析:(1)證明:∵平面.
∴,又因為,.
故AD=,AB=10=直徑長,(3分)
∴AC⊥BC.又因為EC⊥平面ABC,所以EC⊥BC.
∵AC∩EC=C,∴BC⊥平面ACE,又BC平面BCED,
∴平面AEC⊥平面BCED.(6分)
(2)法一:存在,如圖,以C為原點,直線CA為x軸,直線CB為y軸,直線CE為z軸建立空間直角坐標系,則有點的坐標,A(8,0,0),B(0,6,0),D(0,6,1),E(0,0,4).
則=(-8,6,1),=(0,-6,3),
設(shè)=λ=λ(0,-6,3)=(0,-6λ,3λ),0<λ<1
故=+=(-8, 6-6λ,1+3λ)
由(1)易得平面ACE的法向量為=(0,6,0),
設(shè)直線AM與平面ACE所成角為θ,
則sin θ==,解得λ=.(10分)
所以存在點M,且時,直線AM與平面ACE所成角的正弦值為. (12分)
法二:(幾何法)
如圖,作MN⊥CE交CE于N,連接AN,則MN⊥平面AEC,故直線AM與平面ACE所成的角為∠MAN,且MN⊥AN,NC⊥AC.
設(shè)MN=2x,由直線AM與平面ACE所成角的正弦值為,得AM=x,所以AN=x.
另一方面,作DK∥MN∥BC,得EN=x,NC=4-x
而AC=8,故Rt△ANC中,由AN2=AC2+NC2
得17x2=64+(4-x)2,∴x=2,∴MN=4,EM=2
所以存在點,且時,直線與平面所成角的正弦值為. (12分)
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列說法:①方程表示的圖形是一個點;②命題“若,則或”為真命題;③已知雙曲線的左右焦點分別為,,過右焦點被雙曲線截得的弦長為4的直線有3條;④已知橢圓上有兩點,,若點是橢圓上任意一點,且,直線,的斜率分別為,,則為定值.
其中說法正確的序號是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,過點的直線與拋物線相切,設(shè)第一象限的切點為.
(1)求點的坐標;
(2)若過點的直線與拋物線相交于兩點,圓是以線段為直徑的圓過點,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國有一道古典數(shù)學(xué)名著——兩鼠穿墻:“今有垣厚十尺,兩鼠對穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問幾何日相逢?”題意是:“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻(連線與墻面垂直),大老鼠第一天進一尺,以后每天加倍,小老鼠第一天也進一尺,以后每天減半,那么兩鼠第幾天能見面.”假設(shè)墻厚16尺,如圖是源于該題思想的一個程序框圖,則輸出的( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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【題目】設(shè)為實數(shù),函數(shù).
(I)若,求實數(shù)的取值范圍;
(II)當時,討論方程在上的解的個數(shù).
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【題目】盡管目前人類還無法準確預(yù)報地震,但科學(xué)家通過研究,已經(jīng)對地震有所了解,例如,地震釋放出的能量(單位:焦耳)與地震里氏震級之間的關(guān)系為.
(1)已知地震等級劃分為里氏級,根據(jù)等級范圍又分為三種類型,其中小于級的為“小地震”,介于級到級之間的為“有感地震”,大于級的為“破壞性地震”若某次地震釋放能量約焦耳,試確定該次地震的類型;
(2)2008年汶川地震為里氏級,2011年日本地震為里氏級,問:2011年日本地震所釋放的能量是2008年汶川地震所釋放的能量的多少倍? (取)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小電子產(chǎn)品2018年的價格為9元/件,年銷量為件,經(jīng)銷商計劃在2019年將該電子產(chǎn)品的價格降為元/件(其中),經(jīng)調(diào)查,顧客的期望價格為5元/件,經(jīng)測算,該電子產(chǎn)品的價格下降后年銷量新增加了件(其中常數(shù)).已知該電子產(chǎn)品的成本價格為4元/件.
(1)寫出該電子產(chǎn)品價格下降后,經(jīng)銷商的年收益與實際價格的函數(shù)關(guān)系式:(年收益=年銷售收入-成本)
(2)設(shè),當實際價格最低定為多少時,仍然可以保證經(jīng)銷商2019年的收益比2018年至少增長20%?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某輛汽車以千米小時的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全要求時,每小時的油耗(所需要的汽油量)為升,其中為常數(shù),且.
(1)若汽車以120千米小時的速度行駛時,每小時的油耗為11.5升,欲使每小時的油耗不超過9升,求的取值范圍;
(2)求該汽車行駛100千米的油耗的最小值.
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