Question

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（0）=0；
（2）試證明f（x）是奇函數(shù)，試舉出兩個這樣的函數(shù)；
（3）若當(dāng)x≥0時，f（x）＜0，
1）試判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明之；
2）判斷函數(shù)|f（x）|=a．所有可能的解的個數(shù)，并求出對應(yīng)的a的范圍．

Answer 1

解：（1）令x=y=0．則f（0）=f（0）+f（0）所以f（0）=0
（2）令y=-x，則f（0）=f（-x）+f（x）
即f（-x）=-f（x）
故f（x）為奇函數(shù)；
例如：y=-2x，y=3x；
（3）1）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，故 f（x₂-x₁）＜0
又有題設(shè)知 f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0
則該函數(shù)f（x₂）＜f（x₁）
所以該函數(shù)f（x）為（-∞，+∞）單調(diào)減函數(shù)
2）由題設(shè)當(dāng)x≥0時，f（x）＜0，結(jié)合上證函數(shù)是奇函數(shù)可得x＜0時，f（x）＞0
又由1）知函數(shù)f（x）為（-∞，+∞）單調(diào)減函數(shù)故知函數(shù)|f（x）|在（-∞，0]上減，在[0，+∞）上增且f（0）=0
故有：
當(dāng)a＞0時，有兩解；
當(dāng)a=0時，有一解；
當(dāng)a＜0時，無解；
分析：（1）令令x=y=0，代入恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）即可求得．
（2）此恒等式對應(yīng)的函數(shù)可以舉出兩個沒有常數(shù)項的一次函數(shù)．
（3）可由定義法證明，其步驟是先取值，再作差，由于函數(shù)是一抽象函數(shù)，判斷差的符號時要注意題設(shè)中條件x≥0時，f（x）＜0的使用，由此先取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由作差證明即可．
點評：本題考點是抽象函數(shù)及其運用，考查靈活賦值求函數(shù)值以及運用恒等式靈活變形證明函數(shù)的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方程的根的個數(shù)，本題涉及到的考點較多，知識性與技巧性都很強，是知識完善結(jié)合的一個好題．