Question

【題目】已知f（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]），其中e是自然常數(shù)，a∈R.
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣lnx， 則
且x∈（0，e]得x∈[1，e）單調(diào)遞增；
且x∈（0，e]得x∈（0，1）單調(diào)遞減；
當(dāng)x=1時(shí)取到極小值1；
（II）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減f（e）＜0，與題意不符；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=0的根為
當(dāng) 時(shí)， ，解得a=e2
③當(dāng) 時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減f（e）＜0，與題意不符；）
綜上所述a=e2
【解析】（I）把a(bǔ)=1代入原函數(shù)，求出其導(dǎo)函數(shù)，即可求f（x）的單調(diào)性、極值；（II）先求出其導(dǎo)函數(shù)，通過分類討論分別求出導(dǎo)數(shù)為0的根，以及單調(diào)性和極值，再與f（x）的最小值是3相結(jié)合，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．