【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若, 恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1) 求出函數(shù)的導數(shù),通過討論 的范圍, 得增區(qū)間, 得減區(qū)間; (2)問題轉(zhuǎn)化為,討論 的范圍,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 的最小值即可求出 的范圍.
試題解析:(1).
(i)當時, ,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
(ii)當時,令,則,
當,即,函數(shù)單調(diào)遞增;
當,即時,函數(shù)單調(diào)遞減.
綜上,當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)令,由(1)可知,函數(shù)的最小值為,所以,即.
恒成立與恒成立等價,
令,即,則.
①當時, .(或令,則
在上遞增,∴,∴在上遞增,∴.
∴).
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增,
∴,
∴恒成立.
②當時,令,則,
當時, ,函數(shù)單調(diào)遞增.
又, ,
∴存在,使得,故當時, ,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞減;當時, ,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,
∴,
即, 不恒成立,
綜上所述, 的取值范圍是.
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【題目】如圖所示,已知圓的圓心在直線上,且該圓存在兩點關于直線對稱,又圓與直線相切,過點的動直線與圓相交于兩點,是的中點,直線與相交于點.
(1)求圓的方程;
(2)當時,求直線的方程;
(3)是否為定值?如果是,求出其定值;如果不是,請說明理由.
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【題目】某車間為了制作某個零件,需從一塊扇形的鋼板余料(如圖1)中按照圖2的方式裁剪一塊矩形鋼板,其中頂點、在半徑上,頂點在半徑上,頂點在上, , .設,矩形的面積為.
(1)用含的式子表示, 的長;
(2)試將表示為的函數(shù);
(3)求的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)用反證法證明:在上,不存在不同的兩點,,使得的圖象在這兩點處的切線相互平行.
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【題目】已知圓滿足:①圓心在第一象限,截軸所得弦長為2;②被軸分成兩段圓弧,其弧長的比為;③圓心到直線的距離為.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)若點是直線上的動點,過點分別做圓的兩條切線,切點分別為, ,求證:直線過定點.
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【題目】對于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實數(shù),滿足,則稱為“局部奇函數(shù)”.
為定義在上的“局部奇函數(shù)”;
曲線與軸交于不同的兩點;
若為假命題, 為真命題,求的取值范圍.
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【題目】設函數(shù),函數(shù)
(1)當時,解關于的不等式: ;
(2)若且,已知函數(shù)有兩個零點和,若點, ,其中是坐標原點,證明: 與不可能垂直。
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【題目】一個盒子中裝有5張編號依次為1、2、3、4、5的卡片,這5 張卡片除號碼外完全相同.現(xiàn)進行有放回的連續(xù)抽取2 次,每次任意地取出一張卡片.
(1)求出所有可能結(jié)果數(shù),并列出所有可能結(jié)果;
(2)求事件“取出卡片號碼之和不小于7 或小于5”的概率.
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