【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上,且短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊為的等腰直角三角形.

(1)求橢圓的方程;

(2)動(dòng)直線交橢圓兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。

【答案】(1); (2)線段AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q(0,1).

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,以及斜邊長為,可求出,進(jìn)而可求出橢圓方程;

(2)先由直線可得求過定點(diǎn);根據(jù)軸平行時(shí)或軸平行時(shí),先求出定點(diǎn),再由證明即可.

(1)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,.

又斜邊長為,即,故, ,

橢圓方程為.

(2)由題意可知該動(dòng)直線過定點(diǎn),

當(dāng)軸平行時(shí),以線段AB為直徑的圓的方程為;

當(dāng)軸平行時(shí),以線段AB為直徑的圓的方程為.

,

故若存在定點(diǎn),則的坐標(biāo)只可能為.

下面證明為所求:

若直線的斜率不存在,上述已經(jīng)證明.

若直線的斜率存在,設(shè)直線,

,

,

, ,

,

=,

,即以線段AB為直徑的圓恒過點(diǎn).

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