已知△ABC中,角A、B、C所對(duì)邊為a、b、c,其中cosA=
5
13
tan
B
2
+cot
B
2
=
5
2
,c=
14
3

(1)求tanB.
(2)求△ABC的面積.
分析:(1)由題意求出sinA,切化弦求出sinB,討論B的范圍,求出tanB.
(2)利用A+B+C=π,求出sinC=sin(A+B)的值,利用正弦定理求出a,然后求出三角形的面積.
解答:解:(1)△ABC中,由cosA=
5
13
知A為銳角,
sinA=
1-cos2A
=
1-(
5
13
)
2
=
12
13
(1分)
tan
B
2
+cot
B
2
=
sin
B
2
cos
B
2
+
cos
B
2
sin
B
2
=
1
sin
B
2
cos
B
2

=
2
sinB
=
5
2

sinB=
4
5
(3分)
若B為鈍角sinB=sin(π-B)<sinA
得π-B<A即A+B>π這不可能(4分)
故B為銳角,cosB=
1-sin2B
=
3
5
(5分)
tanB=
sinB
cosB
=
4
3
(6分)
(2)△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
12
13
×
3
5
+
5
13
×
4
5
=
56
65
(8分)
由正弦定理
a
sinA
=
c
sinC
a
12
13
=
14
3
56
65
?a=5
(10分)
S△ABC=
1
2
ac.sinB=
1
2
×5×
14
3
×
4
5
=
28
3
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、正弦定理的應(yīng)用,三角形面積的求法,考查計(jì)算能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,AH為BC邊上的高,以下結(jié)論:①
AH
•(
AC
-
AB
)=0
;
AB
BC
<0⇒△ABC
為鈍角三角形;
AC
AH
|
AH
|
=csinB

BC
•(
AC
-
AB
)=a2
,其中正確的個(gè)數(shù)是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且滿足b+c=
3
a
,設(shè)
m
=[cos(
π
2
+A),-1],
n
=(cosA-
5
4
,-sinA),
m
n
,試求角B的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.
(1)證明:
a+b
2a+b
c
a+c

(2)證明:不論x取何值總有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0;
(3)若a>c≥2,證明:
1
a+c+1
-
1
(c+1)(a+1)
1
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊長分別為a,b,c且角A,B、C成等差數(shù)列,△ABC的面積S=
b2-(a-c)2k
,則實(shí)數(shù)k的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=
2
,向量
m
=(-1,1)
n
=(cosBcosC,sinBsinC-
2
2
)
,且
m
n

(Ⅰ)求A的大;
(Ⅱ)當(dāng)sinB+cos(
12
-C)
取得最大值時(shí),求角B的大小和△ABC的面積.

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