Question

如圖，橢圓長軸端點為A，B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且

AF

•

FB

=1，|

OF

|=1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）記橢圓的上頂點為M，直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的方程，根據(jù)題意可知c，進而根據(jù)

AF

•

FB

=1求得a，進而利用a和c求得b，則橢圓的方程可得．
（2）假設存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，設出P，Q的坐標，利用點M，F(xiàn)的坐標求得直線PQ的斜率，設出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用

MP

•

FQ

=0求得m．

解答：解．（1）如圖建系，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則c=1
又∵

AF

•

FB

=1即（a+c）•（a-c）=1=a²-c²，∴a²=2
故橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（2）假設存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，則
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵M（0，1），F(xiàn)（1，0），故k_PQ=1，
于是設直線l為y=x+m，由

y=x+m x2+2y2=2

得3x²+4mx+2m²-2=0，
又F為△PQM的垂心，則MP⊥FQ，
故

MP

•

FQ

=x1(x2-1)+y2(y1-1)=0又y_i=x_i+m（i=1，2）
得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0由韋達定理得2•

2m2-2

3

-

4m

3

(m-1)+m2-m=0
解得m=-

4

3

或m=1（舍）經檢驗m=-

4

3

符合條件，
此時直線l的方程為y=x-

4

3

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系．考查了學生綜合運用基礎知識解決問題的能力．