已知定圓的圓心為，動圓過點，且和圓相切，動圓的圓心的軌跡記為．
(Ⅰ)求曲線的方程；
(Ⅱ)若點為曲線上一點，試探究直線：與曲線是否存在交點? 若存在，求出交點坐標；若不存在，請說明理由．

（Ⅰ）；（Ⅱ）直線與曲線總有兩個交點，.

解析試題分析：（Ⅰ）先找出圓心和半徑，設出動圓的圓心和半徑，因為動圓過點，且和圓相切，所以，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓；（Ⅱ）討論的情況，分和兩種，當時，顯然有兩個交點，當時，聯(lián)立方程組，消解方程，看解的個數(shù).
試題解析：（Ⅰ）圓的圓心為，半徑.
設動圓的圓心為半徑為，依題意有.
由，可知點在圓內，從而圓內切于圓，故，
即，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓.       3分
設橢圓方程為. 由，，可得，.
故曲線的方程為.        6分
（Ⅱ）當時，由可得.此時直線的方程為：，
與曲線有兩個交點.       8分
當時，直線的方程為：，
聯(lián)立方程組消去得，   ①
由點為曲線上一點，得，可得.
于是方程①可以化簡為. 解得或.
當代入方程可得；
當代入方程可得.顯然時，.
綜上，直線與曲線總有兩個交點，.        13分
考點：1.求橢圓方程；2.判斷直線與橢圓的交點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且.

(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓：+=1上；
(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

給定橢圓： ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，且其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為 ，為橢圓的上頂點，為坐標原點，且兩焦點和短軸的兩端構成邊長為的正方形.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）是否存在直線交與橢圓于， ，且使，使得為的垂心，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知A、B、C是橢圓W:上的三個點,O是坐標原點.
(I)當點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積；
(II)當點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點，試問在軸上是否存在點，使是與無關的常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點坐標分別是，離心率，直線與橢圓交于不同的兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求弦的長度.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓(a>b>0)拋物線，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：



4

1

2
4

2
（1）求的標準方程；（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若,

(i) 求的最值.
(ii) 求四邊形ABCD的面積；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、、 構成等差數(shù)列．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點是直線上的兩點，且，． 求四邊形面積的最大值．

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