Question

已知三角形ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，設(shè)向量

m

=(c-2b，a)，

n

=(cosA，cosC)，且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若

AB

•

AC

=4，求邊長a的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

m

•

n

=0，求得cosA得值，即可得到角A的大�。�
（2）由

AB

•

AC

=4求得bccosA=4，求得bc=8，由余弦定理，再利用基本不等式求得邊長a的最小值．

解答：解：（1）由

m

⊥

n

得 

m•

n

=(c-2b)cosA+acosC=0⇒2sinBcosA=sinB，
可得cosA=

1

2

⇒A=600．-------（3分）
（2）由

AB

•

AC

=4求得bccosA=4，求得bc=8，可得a²=b²+c²-2bccosA≥2bc-bc=bc=8，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2

2

時取等號，所以a的最小值為2

2

．------（3分）

點評：本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．