如圖，在△OAB中，已知|O
A
| =2，|O
B
| =2
3
，∠AOB=90°，單位圓O與OA交于C，A
D
=λ
B
，λ∈(0，1)，P為單位圓O上的動點．
（1）若O
C
+O
P
=O
D
，求λ的值；
（2）記|P
D
|的最小值為f（λ），求f（λ）的表達式及f（λ）的最小值．
分析：（1）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸建立直角坐標系，記∠POB=α，由O
C
+O
P
=O
D
得
cosα+1=2(1-λ)
sinα=2
3
λ
，從而可求
法1：（2）由
PD
=（2-2λ-cosα，2
3
λ-sinα）可得f（λ）=
16λ2-8λ+4
-1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
法2：（2）|
PD
|≥|
OD
| -|
OP
| =
16λ2-8λ+4
-1|
PD
|當且僅當P在線段OD上等號成立可得f（λ）=
16λ2-8λ+4
-1下同法一
解答：解：（1）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸建立直角坐標系
記∠POB=α則P（cosα，sinα），A（2，0），B（0，2
3
），C（1，0）
OD
=
OA
+λ
AB
=(2(1-λ)，2
3
λ)由OO
C
+O
P
=O
D

得
cosα+1=2(1-λ)
sinα=2
3
λ
16λ2-4λ=0⇒λ=0或λ=
1
4
（5分）
（2）法1：
PD
=（2-2λ-cosα，2
3
λ-sinα）
|
PD
|2≥16λ2-8λ+5-
64λ2-32λ+16

∴f（x）=
16λ2-8λ+5-
64λ2-32λ+16
=
16λ2-8λ+4
-1（4分）
∵16λ2-8λ+4=16（λ-
1
4
）2+3≥3
∴f（x）min=f（
1
4
）=
3
-1（2分）
法2：|
PD
|≥|
OD
| -|
OP
| =
16λ2-8λ+4
-1|
PD
|當且僅當P在線段OD上等號成立
∴f（λ）=
16λ2-8λ+4
-1（4分）
∵16λ2-8λ+4=16（λ-
1
4
）2+3≥3
∴f（x）min=f（
1
4
）=
3
-1（2分）
點評：本題主要考查了向量與三角函數(shù)的綜合應用，向量的坐標表示及二次函數(shù)的最值的求解，屬于綜合試題
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△OAB中，
OC
=
1
3
OA
，
OD
=
1
2
OB
，AD與BC交于點M，
設
OA
=
a
，
OB
=
b
，
（1）試用向量
a
和
b
表示
OM
；
（2）在線段AC上取一點E，線段BD上取一點F，使EF過M點，
OE
=λ
OA
，
OF
=μ
OB
，求證：
1
λ
+
2
μ
=5．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•杭州二模）如圖，在△OAB中，C為OA上的一點，且
OC
=
2
3
OA
，D是BC的中點，過點A的直線l∥OD，P是直線l上的任意點，若
OP
=λ1
OB
+λ2
OC
，則λ1-λ2=
-
3
2
-
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△OAB中，延長BA到C，使AC=BA，在OB上取點D，使DB=
1
3
OB，DC與OA交于E，設
OA
=
a
，
OB
=
b
，用
a
，
b
表示向量
OC
，
DC
，
DE
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△OAB中，已知P為線段AB上的一點，且|
AP
|=2|
PB
|．
（Ⅰ）試用
OA
，
OB
表示
OP
；
（Ⅱ）若|
OA
|=3，
|OB|
=2，且∠AOB=60°，求
OP
•
AB
的值．

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