Question

【題目】已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和S4=14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列．

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)Tn為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若Tn≤λan+1對n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an=n+1；（Ⅱ）.

【解析】

（I）設(shè)出此等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡S4＝14得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的關(guān)系式，又a1，a3，a7成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的另一關(guān)系式，兩關(guān)系式聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式即可；（II）把（I）中求出的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列中，根據(jù)，列舉出數(shù)列的前n項(xiàng)和的每一項(xiàng)，抵消后得到Tn的通項(xiàng)公式，將求出的Tn的通項(xiàng)公式和an+1的通項(xiàng)公式代入已知的不等式中，解出λ大于等于一個(gè)關(guān)系式，利用基本不等式求出這個(gè)關(guān)系式的最大值，即可得到實(shí)數(shù)λ的最小值．

（I）設(shè)公差為d，由已知得：，

即，

解得：d=1或d=0（舍去），

∴a1=2，

故an=2+（n-1）=n+1；

（II）∵==-，

∴Tn=-+-+…+-=-=，

∵Tn≤λan+1對n∈N*恒成立，即≤λ（n+2），λ≥n∈N*恒成立，

又=≤=，

∴λ的最小值為．