Question

【題目】某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用（單位：千萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：千萬(wàn)件）的影響，統(tǒng)計(jì)了近年投入的年研發(fā)費(fèi)用與年銷售量的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示．

(1)利用散點(diǎn)圖判斷和（其中均為大于的常數(shù)）哪一個(gè)更適合作為年銷售量和年研發(fā)費(fèi)用的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

(2)對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理，令，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：根據(jù)第(1)問(wèn)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

15	15	28.25	56.5

(3)已知企業(yè)年利潤(rùn)（單位：千萬(wàn)元）與的關(guān)系為（其中），根據(jù)第(2)問(wèn)的結(jié)果判斷，要使得該企業(yè)下一年的年利潤(rùn)最大，預(yù)計(jì)下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費(fèi)用?

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，

Answer 1

【答案】(1) 選擇更合適；(2) . (3) 要使年利潤(rùn)取最大值，預(yù)計(jì)下一年應(yīng)投入千萬(wàn)元的研發(fā)費(fèi)用

【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖分布，可知更符合指數(shù)型模型，可得結(jié)果；（2）對(duì)兩邊取倒數(shù)，得到，采用最小二乘法可求得和，從而得到結(jié)果；（3）由（2）可得，利用導(dǎo)數(shù)可判斷出單調(diào)性，可知當(dāng)時(shí)，取最大值，從而得到結(jié)果.

（1）由散點(diǎn)圖知，選擇更合適

（2）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，即：

由表中數(shù)據(jù)得

令，則，即

年銷售和年研發(fā)費(fèi)用的回歸方程為：

（3）由（2）知，，則

令，得

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

當(dāng)千萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)取得最大值，且最大值為：千萬(wàn)元億元

要使年利潤(rùn)取最大值，預(yù)計(jì)下一年應(yīng)投入千萬(wàn)元的研發(fā)費(fèi)用