【題目】已知點在橢圓上，設分別為左頂點、上頂點、下頂點，且下頂點到直線的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖所示，過點作斜率為的直線交橢圓于，交軸于點，若為中點，過作與直線垂直的直線，證明：對于任意的，直線恒過定點，并求出此定點坐標．

【答案】見解析

【解析】（1）由題意，得直線方程為，點，……………1分

∴點到直線的距離，整理，得． ①……………3分

又點在橢圓上，所以． ②……………4分

聯(lián)立①②解得，所以橢圓的方程為．…………………5分

（2）因為，所以設直線的方程為．

由消元得，，化簡得，，

解得，. …………………7分

顯然，則，

所以. …………………8分

因為點為的中點，所以的坐標為，則，

所以直線的斜率為，

又直線的方程為，…………………10分

所以令，得點坐標為，

所以直線的方程為，即，…………………11分

所以直線恒過定點．…………………12分

【命題意圖】本題主要考查橢圓方程與幾何性質、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，意在考查邏輯思維

與推理論證能力、分析與解決問題的能力、運算求解能力．

練習冊系列答案
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