Question

（2011•西安模擬）設(shè)動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)A（-1，0），且與圓B：x²+y²-2x-7=0相切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心P的軌跡Ω的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q（m，n）在曲線(xiàn)Ω上，求證：直線(xiàn)l：mx+2ny=2與曲線(xiàn)Ω有唯一的公共點(diǎn)；
（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中的直線(xiàn)l與圓B交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：滿(mǎn)足

AR

=

AE

+

AF

的點(diǎn)R必在圓B上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)A在圓B內(nèi)，知?jiǎng)訄AP與圓B（x-1）²+y²=8內(nèi)切，由圓B的圓心是B（1，0），半徑r=2

2

，知PB=2

2

-PA，由此能求出動(dòng)圓圓心P的軌跡Ω的方程．
（Ⅱ）由點(diǎn)Q（m，n）在曲線(xiàn)Ω上可知：m²+2n²=2．聯(lián)立直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Ω的方程

mx+2ny=2 x2+2y2=2

，得x²-2mx+m²=0，由此能導(dǎo)出直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Ω有唯一的公共點(diǎn)．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由題意知x₁，x₂是由直線(xiàn)l與圓B所得的方程組整理出的方程（m²+4n²）x²-4（m+2n²）x+4-28n²=0的兩個(gè)不同的實(shí)根，再由韋達(dá)定理求得|

BR

| =2

2

，故點(diǎn)R在圓B上．

解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)A在圓B內(nèi)，
∴動(dòng)圓P與圓B（x-1）²+y²=8內(nèi)切，
∵圓B的圓心是B（1，0），半徑r=2

2

，
∴PB=2

2

-PA，
即PA+PB=2

2

，
由橢圓定義知?jiǎng)訄A圓心P的軌跡Ω的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由點(diǎn)Q（m，n）在曲線(xiàn)Ω上可知：

m2

2

+n2=1，即m²+2n²=2．
又聯(lián)立直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Ω的方程

mx+2ny=2 x2+2y2=2

，
得（2m²+4n²）x²-8mx+8-8n²=0，
即x²-2mx+m²=0，
∵x²-2mx+m²=0的兩實(shí)根相等，
∴直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Ω有唯一的公共點(diǎn)．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則由題意知x₁，x₂是由直線(xiàn)l與圓B所得的方程組

mx+2ny=2 x2+y2-2x-7=0

所得方程（m²+4n²）x²-4（m+2n²）x+4-28n²=0的兩個(gè)不同的實(shí)根，
∴x1+x2=

4(m+2n2)

m2+4n2

=

4(m+2-m2)

m2+4-2m2

=

4(m+1)

m+2

，
∵mx₁+2ny₁=2，mx₂+2ny₂=2，
∴y1+y2=

4-m(x1+x2)

2n

=

4(m+2)-4m(m+1)

2n(m+2)

=

4n

m+2

．
∴|

BR

|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2
=

16(m+1)2

(m+2)2

+

16n2

(m+2)2

=

16(m+1)2+16-8m2

(m+2)2

=8，
∴|

BR

| =2

2

，
故點(diǎn)R在圓B上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．