Question

已知圓C的圓心坐標（1，1），直線l：x+y=1被圓C截得弦長為，
（1）求圓C的方程；
（II）從圓C外一點p（2，3）向圓引切線，求切線方程．

Answer 1

解：（I）設圓的方程為：（x-1）²+（y-1）²=r²
因為圓心C到直線l的距離：d==，（2分）
所以：r²=+=1，即r=1，
圓的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1；（5分）
（II）當切線的斜率不存在時，顯然x=2為圓的一條切線；（7分）
當切線的斜率存在時，設切線的斜率為k，
則切線方程為y-3=k（x-2），即：kx-y-2k+3=0
由=1，解得k=，（10分）
所以切線方程為y-3=（x-2），即3x-4y+6=0
綜上：所求的切線方程為x=2和3x-4y=6=0．（12分）
分析：（I）設圓C的半徑為r，根據(jù)圓心坐標寫出圓的標準方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離即為弦心距，然后根據(jù)垂徑定理得到其垂足為弦的中點，由弦長的一半，圓心距及半徑構成的直角三角形，根據(jù)勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，從而確定圓C的方程；
（II）當切線方程的斜率不存在時，顯然得到x=2為圓的切線；當切線方程的斜率存在時，設出切線的斜率為k，由P的坐標和k寫出切線方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到所設直線的距離d，根據(jù)直線與圓相切，得到d等于圓的半徑，列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出切線的方程，綜上，得到所求圓的兩條切線方程．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及直線與圓相交的性質．要求學生掌握垂徑定理，勾股定理及點到直線的距離公式，理解直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑．