Question

已知圓C的圓心坐標(biāo)為（2，-1），半徑為1
（1）求圓C的方程；
（2）求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且與圓C相切的直線(xiàn)方程；
（3）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且與圓C相切于點(diǎn)Q，求線(xiàn)段OQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可直接寫(xiě)出圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式；
（2）由于直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)且與圓相切，得到直線(xiàn)l的斜率存在，所以設(shè)出直線(xiàn)l的方程為y=kx，
然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)l的距離d，讓d等于圓的半徑列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，即得直線(xiàn)方程；
（3）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，OC=

5

，r=1，故可得到線(xiàn)段OQ的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵圓C的圓心坐標(biāo)為（2，-1），半徑為1，
∴根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得所求圓的方程為（x-2）²+（y+1）²=（1）²
即（x-2）²+（y+1）²=1；
（2）由直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，不合題意，
則設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx，
因?yàn)橹本�(xiàn)l與已知圓相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離d=

|2k+1|

k2+1

=r=1，
化簡(jiǎn)得：3k²+4k=0，解得：k=0或k=-

4

3

則直線(xiàn)l的方程為：y=0或y=-

4

3

x；
（3））∵圓C的圓心坐標(biāo)為（2，-1），半徑為1，
∴OC=

22+(-1)2

=

5

，r=1，
又由OQ²=OC²-r²
故OQ=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握直線(xiàn)與圓相切時(shí)所滿(mǎn)足的條件，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式化簡(jiǎn)求值，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．