Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為3．（橢圓的右準(zhǔn)線方程為）

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．已知被圓截得的弦長(zhǎng)為，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意可得， ，結(jié)合即可求解.

（2）直線l的方程為x＝my+1，將直線與橢圓聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式表示出|PQ|，再利用點(diǎn)到直線的距離求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓截得的弦長(zhǎng)為，可求出m2＝1，根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

（1）解：由題意知 ， ，

因?yàn)?/span> ，解得a2＝4，b2＝3，

所以橢圓的方程為: 1

（2）解：由題意知直線l的斜率不為0，由（1）知F（1，0），

設(shè)直線l的方程為x＝my+1，P（x，y），Q（x'，y'），

聯(lián)立直線l與橢圓的方程整理得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，

所以y+y' ，yy' ，

所以|PQ|，

，

因?yàn)閳AO:x2+y2＝4到l的距離d ，

被圓O:x2+y2＝4截得的弦長(zhǎng)為，

即

整理得14＝4（4），解得m2＝1，

所以d ，|PQ| ，

所以S△OPQ .