Question

已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,4)，且被平行直線(xiàn)l₁：x－y＋1＝0與l₂：x－y－1＝0所截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)M在直線(xiàn)x＋y－3＝0上．求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

[解析]　解法一：∵點(diǎn)M在直線(xiàn)x＋y－3＝0上，

∴設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(t,3－t)，則點(diǎn)M到l₁、l₂的距離相等，

即＝，

解得t＝，∴M.

又l過(guò)點(diǎn)A(2,4)，

由兩點(diǎn)式得＝，

即5x－y－6＝0，

故直線(xiàn)l的方程為5x－y－6＝0.

解法二：設(shè)與l₁、l₂平行且距離相等的直線(xiàn)l₃：x－y＋c＝0，由兩平行直線(xiàn)間的距離公式得＝，解得c＝0，即l₃：x－y＝0.由題意得中點(diǎn)M在l₃上，又點(diǎn)M在x＋y－3＝0上．

解方程組，得.

∴M.又l過(guò)點(diǎn)A(2,4)，

故由兩點(diǎn)式得直線(xiàn)l的方程為5x－y－6＝0.

解法三：由題意知直線(xiàn)l的斜率必存在，

設(shè)l：y－4＝k(x－2)，

由，得.

∴直線(xiàn)l與l₁、l₂的交點(diǎn)分別為，

.

∵M為中點(diǎn)，∴M.

又點(diǎn)M在直線(xiàn)x＋y－3＝0上，

∴＋－3＝0，解得k＝5.

故所求直線(xiàn)l的方程為y－4＝5(x－2)，

即5x－y－6＝0.